Calculadora de Determinantes
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functions Fórmula Matemática
Para una matriz 2x2:
Det(A) = |
a11 a12
a21 a22
| = a11a22 - a12a21
Para una matriz 3x3 (Regla de Sarrus):
Det(A) = |
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
|
= a11(a22a33 - a23a32) - a12(a21a33 - a23a31) + a13(a21a32 - a22a31)
¿Qué es un Determinante?
El determinante es un valor escalar que puede calcularse a partir de los elementos de una matriz cuadrada. Este número proporciona información clave sobre la matriz, incluyendo si es invertible o si representa una transformación lineal que expande o contrae el espacio.
- Solo se aplica a matrices cuadradas.
- Indica el factor de escala de la transformación lineal.
- Un determinante de cero significa que la matriz no es invertible.
Usos Comunes de los Determinantes
Los determinantes son fundamentales en varias áreas de las matemáticas y la ingeniería. Sus aplicaciones incluyen:
- Resolución de Sistemas de Ecuaciones: A través de la Regla de Cramer.
- Cálculo de Inversas de Matrices: Esencial para encontrar la matriz inversa.
- Geometría: Para calcular áreas de paralelogramos o volúmenes de paralelepípedos.
- Cálculo Vectorial: En el producto vectorial.
- Valores Propios y Vectores Propios: Fundamentales para encontrar las raíces del polinomio característico.
Cómo se Calculan los Determinantes
El método de cálculo varía según el tamaño de la matriz:
- Matriz 2x2: Se calcula como el producto de los elementos de la diagonal principal menos el producto de los elementos de la diagonal secundaria (ad - bc).
- Matriz 3x3: Se puede usar la Regla de Sarrus o la expansión por cofactores. La Regla de Sarrus implica sumar los productos de las diagonales principales y restar los productos de las diagonales secundarias extendidas.
- Matrices Mayores: Generalmente se utiliza la expansión por cofactores (también conocida como expansión de Laplace) o métodos de triangulación.
Propiedades Importantes
Los determinantes tienen varias propiedades que simplifican su cálculo y demuestran su utilidad:
- Si una fila o columna es cero, el determinante es cero.
- Si dos filas o columnas son idénticas, el determinante es cero.
- Intercambiar dos filas o columnas cambia el signo del determinante.
- El determinante de una matriz triangular (superior o inferior) es el producto de los elementos de su diagonal principal.
- Det(AB) = Det(A) * Det(B).
- Det(AT) = Det(A).
Preguntas Frecuentes
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