Calculadora Sistemas de Ecuaciones

Resuelve sistemas de ecuaciones lineales de forma rápida y precisa. Encuentra soluciones para sistemas 2x2, 3x3 y más, ideal para estudiantes y profesionales.

Introduce los coeficientes para un sistema de 2 ecuaciones lineales con 2 incógnitas (Ax + By = C):

Ecuación 1: A₁x + B₁y = C₁

Coeficiente A₁

Coeficiente B₁

Constante C₁

Ecuación 2: A₂x + B₂y = C₂

Coeficiente A₂

Coeficiente B₂

Constante C₂

Resultado

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functions Fórmula Matemática

Fórmula para Sistemas 2x2 (Regla de Cramer)

Para un sistema de ecuaciones lineales de la forma:

$a_1x + b_1y = c_1$
$a_2x + b_2y = c_2$

Calculamos los siguientes determinantes:

Determinante del sistema (D): $D = a_1b_2 - b_1a_2$
Determinante para x (Dₓ): $D_x = c_1b_2 - b_1c_2$
Determinante para y (Dᵧ): $D_y = a_1c_2 - c_1a_2$

Las soluciones para x e y se obtienen dividiendo estos determinantes:

$x = \frac{D_x}{D}$

$y = \frac{D_y}{D}$

Si $D \neq 0$, existe una solución única.
Si $D = 0$ y $D_x = 0$ y $D_y = 0$, existen infinitas soluciones.
Si $D = 0$ y ($D_x \neq 0$ o $D_y \neq 0$), no existe solución.

¿Qué son los Sistemas de Ecuaciones Lineales?

Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de dos o más ecuaciones lineales que involucran las mismas variables. El objetivo es encontrar los valores de estas variables que satisfacen simultáneamente todas las ecuaciones del sistema. Cada ecuación representa una línea (en 2D) o un plano (en 3D), y la solución del sistema es el punto (o puntos) donde estas líneas o planos se intersecan.

Tipos de Soluciones de un Sistema

Sistema consistente determinado: Tiene una única solución. Geométricamente, las líneas (o planos) se intersecan en un solo punto.
Sistema consistente indeterminado: Tiene infinitas soluciones. Las ecuaciones representan la misma línea (o plano), por lo que todos los puntos de esa línea/plano son soluciones.
Sistema inconsistente: No tiene solución. Las ecuaciones representan líneas (o planos) paralelas que nunca se intersecan.

Métodos Comunes para Resolver Sistemas

Existen varios métodos para encontrar las soluciones de un sistema de ecuaciones:

Sustitución: Despejar una variable de una ecuación y sustituirla en la otra.
Eliminación (o Reducción): Multiplicar una o ambas ecuaciones por un número para que al sumarlas o restarlas, una variable se elimine.
Gráfico: Dibujar las ecuaciones y encontrar los puntos de intersección.
Matrices (Regla de Cramer, Eliminación Gaussiana): Usar álgebra matricial para sistemas más complejos.

Aplicaciones en la Vida Real

Los sistemas de ecuaciones tienen innumerables aplicaciones prácticas:

Economía: Modelos de oferta y demanda, cálculo de precios de equilibrio.
Física e Ingeniería: Análisis de circuitos eléctricos, problemas de movimiento, diseño estructural.
Química: Balanceo de ecuaciones químicas.
Logística: Optimización de rutas de transporte y asignación de recursos.
Finanzas: Cálculo de inversiones, préstamos y tasas de interés.

Preguntas Frecuentes

¿Qué es un sistema de ecuaciones lineales?

Es un conjunto de dos o más ecuaciones que comparten las mismas variables. El objetivo es encontrar valores para esas variables que satisfagan todas las ecuaciones simultáneamente.

¿Cómo se resuelve un sistema 2x2?

Se puede resolver por varios métodos: sustitución (despejar una variable y reemplazarla), eliminación (sumar o restar ecuaciones para cancelar una variable), gráfico (encontrar el punto de intersección de las líneas), o utilizando la Regla de Cramer con determinantes, como se explica en la sección de fórmulas.

¿Qué significa que un sistema no tenga solución?

Un sistema no tiene solución cuando las ecuaciones representan líneas (o planos en dimensiones superiores) que son paralelas y nunca se intersecan. Matemáticamente, esto ocurre cuando el determinante del sistema es cero, pero al menos uno de los determinantes de las variables no lo es.

¿Puedo usar esta calculadora para sistemas con más de 2 variables?

Actualmente, esta calculadora está diseñada específicamente para sistemas de 2 ecuaciones con 2 incógnitas (2x2). Los sistemas con más variables requieren métodos más complejos (como la eliminación gaussiana o el uso de matrices ampliadas) y una interfaz de entrada diferente.