Calculadora de Derivadas Parciales
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functions Fórmula Matemática
Para una función de dos variables de la forma general:
\(f(x, y) = C \cdot x^A \cdot y^B\)
La derivada parcial con respecto a \(x\) se calcula manteniendo \(y\) constante:
\(\frac{\partial f}{\partial x} = C \cdot A \cdot x^{A-1} \cdot y^B\)
La derivada parcial con respecto a \(y\) se calcula manteniendo \(x\) constante:
\(\frac{\partial f}{\partial y} = C \cdot B \cdot x^A \cdot y^{B-1}\)
Ejemplo: Si \(f(x, y) = 3x^2y^4\)
- \(\frac{\partial f}{\partial x} = 3 \cdot 2 \cdot x^{2-1} \cdot y^4 = 6xy^4\)
- \(\frac{\partial f}{\partial y} = 3 \cdot 4 \cdot x^2 \cdot y^{4-1} = 12x^2y^3\)
¿Qué son las Derivadas Parciales?
Las derivadas parciales son una extensión del concepto de derivada para funciones de múltiples variables. Permiten medir cómo cambia una función cuando una de sus variables cambia, manteniendo las demás constantes. Se denotan con el símbolo \(\partial\) (del) en lugar de \(d\).
- Concepto clave: Variación de una función multivariable con respecto a una sola variable.
- Variables: Las variables no diferenciadas se tratan como constantes.
- Uso: Esencial en campos como física, ingeniería, economía y estadística.
Aplicaciones Comunes
Las derivadas parciales tienen una amplia gama de aplicaciones prácticas:
- Física: Describe el flujo de calor, campos eléctricos y magnéticos (Ecuaciones de Maxwell), y ondas.
- Ingeniería: Análisis de tensiones en materiales, diseño de estructuras y simulaciones de fluidos.
- Economía: Cálculo de la utilidad marginal de diferentes bienes, elasticidad de la demanda y optimización de recursos.
- Meteorología: Modelado de cambios de temperatura, presión y humedad en la atmósfera.
- Informática: Algoritmos de aprendizaje automático (descenso de gradiente) y optimización.
Reglas Básicas de Derivación Parcial
Las reglas de derivación parcial son las mismas que las de las derivadas ordinarias, con la consideración de que las otras variables se tratan como constantes:
- Regla de la potencia: Si \(f(x, y) = x^n\), entonces \(\frac{\partial f}{\partial x} = nx^{n-1}\). Si \(y\) es una constante, \(\frac{\partial f}{\partial x} (C \cdot x^n) = C \cdot nx^{n-1}\).
- Regla de la suma/resta: \(\frac{\partial}{\partial x} (g(x,y) \pm h(x,y)) = \frac{\partial g}{\partial x} \pm \frac{\partial h}{\partial x}\). (Donde \(h\) y \(g\) pueden contener \(y\) como constante).
- Regla del producto: \(\frac{\partial}{\partial x} (g(x,y)h(x,y)) = \frac{\partial g}{\partial x} h + g \frac{\partial h}{\partial x}\). (Donde \(h\) y \(g\) pueden contener \(y\) como constante).
- Regla de la cadena: Se aplica cuando una variable depende de otra, que a su vez es una función de la variable respecto a la que se deriva parcialmente.
Diferencia con Derivadas Ordinarias
Aunque las reglas son similares, el contexto es diferente:
- Derivada Ordinaria: Se aplica a funciones de una sola variable (e.g., \(y=f(x)\)). Mide la tasa de cambio total de \(y\) con respecto a \(x\).
- Derivada Parcial: Se aplica a funciones de dos o más variables (e.g., \(z=f(x,y)\)). Mide la tasa de cambio de la función con respecto a una de sus variables, asumiendo que las otras permanecen fijas.
- Notación: \(dy/dx\) para derivadas ordinarias, \(\partial f / \partial x\) para derivadas parciales.
- Interpretación Geométrica: La derivada ordinaria representa la pendiente de la tangente a una curva. La derivada parcial representa la pendiente de la sección transversal de una superficie paralela a uno de los ejes de coordenadas.
Preguntas Frecuentes
¿Qué es exactamente una derivada parcial?
Una derivada parcial mide la sensibilidad de una función multivariable a uno de sus argumentos, mientras se mantienen los otros argumentos constantes. En términos más simples, te dice cómo cambia la función cuando solo una de sus entradas cambia, ignorando las demás.
¿Cuándo debo usar una derivada parcial?
Las derivadas parciales se utilizan en cualquier situación donde una cantidad depende de múltiples factores y necesitas entender la influencia de cada factor individualmente. Por ejemplo, en física para describir cómo la temperatura cambia en diferentes puntos de un objeto (dependiendo de x, y, z), o en economía para ver cómo la producción cambia al aumentar solo la mano de obra, manteniendo el capital constante.
¿Esta calculadora puede manejar cualquier función?
No, esta calculadora está diseñada para funciones de la forma específica \(f(x, y) = C \cdot x^A \cdot y^B\), donde C es el coeficiente y A y B son los exponentes de x e y, respectivamente. Para funciones más complejas (con sumas, restas, senos, cosenos, etc.), necesitarías una herramienta de cálculo simbólico más avanzada.
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