Calculadora de Derivadas

¿Qué es una Derivada?

En cálculo, la derivada de una función es la medida de la rapidez con la que cambia el valor de la función (el valor de salida) con respecto a un cambio en su variable independiente (el valor de entrada). Es una herramienta fundamental para comprender el comportamiento de las funciones.

Geométricamente, la derivada en un punto es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en ese punto.

Importancia y Aplicaciones

Las derivadas son esenciales en diversas ramas de la ciencia y la ingeniería:

• Física: Cálculo de velocidad (derivada de la posición) y aceleración (derivada de la velocidad).
• Economía: Análisis marginal (costo marginal, ingreso marginal).
• Ingeniería: Optimización de procesos, diseño de sistemas de control.
• Biología: Modelado de crecimiento poblacional.
• Gráficos por Computadora: Animación y modelado de superficies.

Reglas Básicas de Derivación

Existen varias reglas para calcular derivadas de funciones comunes:

• Regla de la Potencia: \( \frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1} \)
• Regla de la Suma/Resta: \( \frac{d}{dx}(f(x) \pm g(x)) = f'(x) \pm g'(x) \)
• Regla del Producto: \( \frac{d}{dx}(f(x)g(x)) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x) \)
• Regla del Cociente: \( \frac{d}{dx}\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right) = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{(g(x))^2} \)
• Regla de la Cadena: \( \frac{d}{dx}(f(g(x))) = f'(g(x))g'(x) \)

Derivadas de Orden Superior

Una derivada de orden superior es la derivada de una derivada. Por ejemplo:

• La segunda derivada (\( f''(x) \)) es la derivada de la primera derivada.
• La tercera derivada (\( f'''(x) \)) es la derivada de la segunda derivada, y así sucesivamente.

Estas derivadas son cruciales para analizar la concavidad de una función y encontrar puntos de inflexión, o para comprender las tasas de cambio de las tasas de cambio en aplicaciones físicas.